Cálculo de funciones de dispersión de punto óptico en humanos

Lentes de contacto optometria oftalmologia lentes de sol lentes oftalmicos

Hay un renovado interés en el papel de la óptica de la visión humana. Al mismo tiempo ha habido avances que permiten la medición estandarizada de rutina de las aberraciones de frente de onda del ojo humano. Métodos computacionales se han desarrollado para convertir estas mediciones a una descripción de la función visual humana punto de propagación óptica (PSF), y para calcular de esta manera la imagen de la retina. Sin embargo, las herramientas para poner en práctica estos cálculos para ciencias de la visión no están ampliamente disponibles o ampliamente entendido. En este informe se describe el software para calcular el PSF óptica humana, y discutimos las restricciones y limitaciones.

Vision comienza con una imagen de la retina formada por la óptica del ojo.Muchos aspectos importantes del rendimiento visual, tales como agudeza y sensibilidad de contraste, son altamente dependiente del estado de la óptica visuales. Para modelar esta actuación, o la visión espacial de manera más general, debemos ser capaces de calcular la imagen en la retina una imagen de origen dado y un determinado estado de la óptica del ojo (Watson y Ahumada, para 2008 ,2012 ).

La forma del error de frente de onda en la pupila de salida define el rendimiento óptico de cualquier sistema óptico, incluyendo el ojo humano (Goodman, 2005 ).Este error se suele describir como una colección de aberraciones de frente de onda, y métodos estandarizados para describir estas aberraciones se han desarrollado (Thibos, Applegate, Schwiegerling, y Webb, 2002 ). La función de error de frente de onda (comúnmente "aberración de frente de onda") sobre la pupila se caracteriza como la suma de un conjunto de polinomios de Zernike ponderados Fórmula

, donde x 'y y 'describen las coordenadas en relación con el centro de la pupila y normalizado por el radio de la pupila. Cada polinomio es indexado por una orden n y una frecuencia m . La colección de pesos, o los coeficientes de Zernike , generalmente expresada en micrómetros, sirven como la descripción uniforme de las aberraciones.

Las aberraciones de frente de onda se pueden utilizar para calcular la función de dispersión óptica (PSF; Dai, 2008 ; Goodman, 2005 ; Mahajan, 2013 ). Para hacerlo, primero definimos el valor complejo-función pupila generalizada g , Fórmula

La función real p es la función de la pupila que describe la transmisión a través de la pupila. Puede ser definido como 1 en el área de la pupila y 0 en otras partes, pero también puede ser usado para describir la transmisión variable como una función de la posición (apodización), como debido al efecto Stiles-Crawford (Atchison y Scott, 2002 ; Metcalf, 1965 ; Stiles y Crawford, 1933 ).

El PSF para la luz incoherente se da entonces por el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la función de la pupila generalizada, Fórmula

Equipado con el PSF es entonces posible calcular la imagen de la retina R ( x , y ) como la convolución de la imagen de origen s ( x , y ) y la PSF, Fórmula

Estos principios básicos relativos aberraciones de frente de onda a la PSF son bien conocidos (Dai, 2008 ; Goodman, 2005 ; Mahajan, 2013 ) y se introdujeron primero en el cómputo de las imágenes de la retina por Artal ( 1990 ). Métodos para ampliar los coeficientes de Zernike de un tamaño de la pupila a otro fueron desarrollados por Schwiegerling ( 2002 ) y refinadas por otros (Bara, Arines, Ares, y Prado, 2006 ; Dai, 2006 ; Díaz, Fernández-Dorado, Pizarro, y Arasa, 2009 ; Janssen y Dirksen, 2006 ; Mahajan, 2010 ). Métodos para calcular el PSF policromática de datos monocromáticos También se han desarrollado (Artal, Santamaría, y Bescós, 1989 ; Coe, Bradley, y Thibos, 2014 ; Marcos, Burns, Moreno-Barriusop, y Navarro, 1999 ; Ravikumar, Thibos, y Bradley, 2008 ; Van Meeteren, 1974 ).

En este informe se describe el software para calcular PSFs ópticos humanos de las mediciones de las aberraciones del frente de onda. El software está escrito en el lenguaje de programación Mathematica (Wolfram Research, Inc., 2013 ). El software, en forma de un cuaderno de Mathematica, se proporciona como un suplemento de este informe. También ofrecemos en el cuaderno de una base de datos de las aberraciones del frente de onda de 200 ojos jóvenes sanos (Thibos, Hong, Bradley, y Cheng, 2002 ). Por último también ofrecemos una demostraciónque ilustra los efectos de la selección de parámetros de cálculo de la PSF. Estosarchivos complementarios se pueden ver con el jugador Wolfram CDF libre (http://www.wolfram.com/cdf-player/ ).

Un ejemplo

Para motivar a los acontecimientos posteriores, ofrecemos un breve ejemplo de la utilización de este software. Comenzamos con una lista de 12 coeficientes de Zernike,

zc = {{2,−2,−0.0946},{2,0,0.0969},{2,2,0.305},{3,−3,0.0459},{3,−1,−0.121},{3,1,0.0264},{3,3,−0.113},{4,−4,0.0292},{4,−2,0.03},{4,0,0.0294},{4,2,0.0163},{4,4,0.064}};

Calculamos un PSF,

PSF = ZernikePointSpread [zc];

Tenemos una imagen de la letra "E" en la fuente Sloan con una altura de 10 minutos de arco, que corresponden a la agudeza de 20/40.

ImagePlot [letra]

Mathematica cuadernos, de entrada y de salida

Código de Mathematica normalmente existe en los portátiles, que son documentos digitales tanto como un archivo de procesador de textos. Entrada Mathematica lo general consiste en expresiones escritas. Cuando se evaluó (mediante Shift-Enter), la salida se compone de números impresos, expresiones, gráficos, u otras acciones. Aquí mostramos entrada como texto en negrita de mensajería, y la salida impresa como correo normal.

Listas

En Mathematica listas están encerrados por llaves. Las matrices se representan mediante listas de listas. Arrays utilizan "fila importante" ordenamiento, es decir, cada sublista es una fila. Aquí está un ejemplo de una matriz con dos filas cada uno de los tres elementos.

array = {{0, 0,25, 1}, {0,5, 1, 0,3}};

Un valor dentro de una matriz se especifica mediante la indexación de su fila y columna.

array [[1,2]]

0.25

Funciones puras

Hacemos uso frecuente de una unidad de programación Mathematica conocida como función pura. Esto permite la construcción de una función temporal a partir de componentes existentes. Se indica mediante una y al final de una expresión y una variable ficticia se denota por # . En este ejemplo

(# + 2) y [7]

9

la pura función sólo se suma 2 a su argumento.

Imágenes

Imágenes están representados aquí por bidimensional (2-D) matrices rectangulares de números, expresados como matrices de Mathematica, como se describe anteriormente. Adoptamos la convención de que la primera fila es la parte inferior de la imagen, y que las dimensiones se dan en el orden {ancho, alto}.Para asignar de coordenadas de píxeles de grados de ángulo visual, una imagen también tiene una resolución visual implícita, en horizontal y vertical píxeles / grado. El tamaño implícita {anchura, altura en grados} es el producto de las dimensiones en píxeles y la resolución visual. En el ejemplo de introducción anterior, {ancho, alto} = {64, 64} {píxeles y ancho, alto} = {1/8, 1/8} grados. La resolución espacial de la imagen es, pues, de 512 píxeles / grado.

Imagen DFT

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) de una imagen es también una matriz rectangular, de las mismas dimensiones que la imagen original, en el que cada entrada es un número complejo que representa la magnitud y la fase de un componente de Fourier de la imagen. Del mismo modo que la imagen tiene una resolución espacial de las muestras / grado, la DFT tiene una resolución espectral de muestras / ciclo / grado. La resolución espectral es igual al tamaño de la imagen en grados. La separación unidimensional entre muestras en la DFT es la inversa de la resolución espectral (ciclos / grado / muestra). Software para calcular la DFT está ampliamente disponible.

Imágenes Envuelto

En correspondencia entre las matrices y la imagen o coordenadas DFT, a menudo es necesario para representar las coordenadas tanto positivos como negativos. Por ejemplo, el DFT debe representar frecuencias positivas y negativas, y la PSF debe representar coordenadas tanto positivas como negativas con respecto a su centro.En tales casos, es común a cambiar (girar o desplazarse o envolver) cada fila y columna para que la muestra correspondiente al origen, o coordinar {0,0}, es el primer píxel de la matriz. Para una dimensión aún, esto significa la rotación a la izquierda por n / 2 donde n es la anchura o altura. Para una dimensión impar, que por medios de rotación ( n - 1) / 2. Este formato "envuelta" también se espera como entrada, y produce como salida, por la mayoría del software DFT, de modo que el origen se encuentra de forma inequívoca (Voelz, 2011 ). Proporcionamos elWrap función para realizar esta operación.

Filtrado de imágenes

Un filtro óptico puede ser representado por la PSF o por la función de transferencia óptica (OTF), que es el DFT de la PSF. Filtrado de una imagen se puede conseguir mediante la convolución entre la imagen y la PSF, o por la multiplicación de la imagen DFT y la OTF, seguido de una DFT inversa (Bracewell, 2003 ). El OTF es generalmente compleja. El valor absoluto o módulo, de la OTF es la función de transferencia de modulación (MTF).

Los coeficientes de Zernike

Nosotros representamos los coeficientes de Zernike para un ojo por una lista de triples de la forma { n , m , c } donde n es el orden, m es la frecuencia, y c es el coeficiente. Los coeficientes también pueden ser indexados por un único modo de número entero (Thibos, Applegate, et al., 2002 ). Esto es útil cuando son coeficientes que ser trazado como una función del modo (ver ZernikeMode yZernikePlot abajo).

Polinomios de Zernike Computing

Comenzamos con un conjunto de coeficientes de Zernike. Estos son de derecha ojo # 1 a 6 mm de la base de datos se discute a continuación (ThibosHongBradleyChengData ;. Thibos, Hong et al, 2002 ), a partir del orden de 2 a 6 ordenar.

TestCoefficients

{{2, −2,−0.0946},{2,0,0.0969},{2,2,0.305},{3,−3,0.0459},{3,−1,−0.121},{3,1,0.0264},{3,3,−0.113},{4,−4,0.0292},{4,−2,0.03},{4,0,0.0294},{4,2,0.0163},{4,4,0.064},{5,−5,0.0499},{5,−3,−0.0252},{5,−1,0.00744},{5,1,0.00155},{5,3,−0.00686},{5,5,0.0288},{6,−6,0.00245},{6,−4,0.00185},{6,−2,0.00122},{6,0,−0.00755},{6,2,−0.000693},{6,4,0.000551},{6,6,−0.0148}}

Estos se pueden trazar en contra del modo de índice de un solo número, con la función ZernikePlot .

La imagen de Zernike

Cada coeficiente de Zernike describe el orden, la frecuencia y magnitud de una sola función de base polinomio de Zernike definida sobre la unidad de pupila. La imagen de la muestra de un solo polinomio de Zernike se puede calcular con la función ZernikeImage .

zi = ZernikeImage [2, -2, 63,1];

Los dos primeros argumentos son el orden y la frecuencia. El tercer argumento es el radio de la pupila en píxeles. Este radio puede ser un número real. Las implicaciones de esta elección se discutirán más adelante, pero en general un valor mayor producirán una mayor precisión. El tamaño de la imagen resultante (filas o columnas) de píxeles es 2 de techo [radio] . Techo devuelve el menor entero mayor o igual a su argumento. Porque estamos asumiendo pupilas circulares, el resultado es siempre una imagen cuadrada. Le mostramos la imagen.

Ver una versión más grande:

Tabla de imágenes de Zernike

También podemos mostrar una tabla de todas las imágenes de Zernike hasta un orden especificado. La imagen muestra todas las funciones de base polinomio de Zernike, hasta orden 6, dispuestas por orden y frecuencia.

Aberración cromática

Para calcular un PSF policromática que es útil tener una función que describe el desenfoque inducida por la aberración cromática longitudinal. Hemos puesto en marcha una fórmula publicada (Thibos, Ye, Zhang, y Bradley, 1992 ) que describe desenfoque en dioptrías en una longitud de onda λ por ojo en foco a 589 nm,